线性代数的本质：矩阵与线性变换

线性变换 -- Linear transformation

首先，变换(transformaiton) 事实上 就是一种函数(function), 输入内容，经过处理计算，对应一个结果 -- 在线性代数中，这里接受的是一个向量，输出的是一个向量的变换

那变化和函数的意义相同 为什么这里叫变换 而不叫函数呢

是因为变换这个词是给人一种可视化的感觉 -- 有一种输入向量移动到输出向量的感觉

这里对变换限制了定语 -- 线性

何为线性？

• 直线变换后仍然是直线
• 原点不变位置

以二维空间xy平面为例

一个好的例子是旋转xy轴，比如旋转90度；另一个好的例子是既伸缩又旋转 -- 斜二测画法，也叫做剪切

在我们平时的视角中，我们的基底是$\hat{ı}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],\hat{ȷ}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$，而平面中的任何一个向量都能以i和j为基底表示，也就是线性组合 -- $\hat{v}=a\hat{ı}+b\hat{ȷ}$

那怎么描述线性变换呢？

事实证明，网格线保持平行等距离分布的性质有一个重要的推论 就是变换后的线性组合的关系是不变的，其实变换后的i和j是新的基底，$Transformed\hat{v}=a(Transformed\hat{ı})+b(Transformed\hat{ȷ})$

-> 这意味着其实可以只根据变换后的i和j就能判断出变换后的v

-> 所以我们只需要记录i和j变换后的位置

所以假设$\hat{ı}\to \left[\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right],\hat{ȷ}\to \left[\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right],\hat{v}=-1\hat{ı}+2\hat{ȷ}$ 那么 $\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]\to -1\left[\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right]+2\left[\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right]$

线性变换是一种移动 -- e.g., 旋转 伸缩，但我们不能总是通过图像的动画演示来得到线性变换后的向量，而是通过给出i和j变换后的位置，来算出v的位置

这里吧i和j变换后的位置的这两个列向量罗列在一起，就是矩阵

而这个矩阵中蕴含着一种变换的信息 -- 就像函数中的对应法则一样, 就像$f(x)$

所以说其实对于一个方阵的矩阵有两个视角 -- 一个是列向量的排列 一个是线性变换关系的描述

但其实矩阵不止这两种理解方式 比如前面Lecture 01 & Reading 2.1 线性方程的几何理解与矩阵中对应乘方程组系数的理解